摘要

对于\(\Gamma \)的非酉表示，我们提出了紧双曲轨道\(\Gamma \反斜杠{\mathbb {H}}^{2n+1})的Selberg迹公式的一个版本，并建立了相关的Selberg zeta函数允许亚纯延到\({\mathbb {C}}}\)。

1 介绍

Selberg zeta函数是研究局部对称黎曼空间谱理论的重要工具。这个函数是由封闭测地线上的无穷积定义的，它只在复半空间中收敛。对于它的研究，了解它是否允许亚纯延拓是有用的。通过建立一个合适的Selberg迹公式，证明了紧奇维双曲轨道上Selberg zeta函数的亚纯延拓的存在性。

定理1

假设是一个紧的奇维双曲轨道，是的有限维表示(可能是非酉的)，并且是SO(2n)的有限维表示。那么Selberg zeta函数(见下面的定义33)允许亚纯延成。

证明定理1的关键在于证明的残数是整数。它是紧双曲流形且是酉的，这已被[1]证明。后来，他们的结果推广到非紧有限体积带尖的双曲流形，当是酉的[7]和当是表示的一个限制[17]。使用一种稍微不同的方法，在[24]中证明了当和是平凡表示时紧轨道的定理。

[1,7,17]的方法是由于Selberg，它是将Selberg迹公式应用于某个测试函数，使其作为公式几何侧的一项出现。为了适应他们的方法，我们需要证明塞尔伯格迹公式的一个更一般的版本。

Selberg迹公式从经典著作开始就有着丰富的历史[19]，但大多局限于对的幺正表示。非酉情形在[16]中首次研究，其假设不包含有限阶非平凡元(也称为椭圆元)，也不包含非平凡单幂元(也称为抛物元)，这意味着是紧流形。我们放弃前一个限制，证明:

定理2

设G是一个中心有限的非紧型连通实数半单李群，K是G的一个极大紧子群，以及一个紧的离散子群。设是的有限维表示(可能是非酉的)，并且是k的有限维表示。对于第7.2节中定义的非自伴拉普拉斯函数，属于第4节中定义的paly - wiener函数空间，

上式中，为的倍数;的共轭类;和分别是G和的中心化器。最后是轨道积分，定义为

其中为第5节定义的自伴随拉普拉斯函数的积分核。

为了完成定理1的证明，我们将定理2应用于这种情况。剩下的主要问题是研究椭圆元的轨道积分。我们证明了轨道积分的傅里叶变换由多项式给出:

引理3

在上面建立了椭圆等号的轨道积分

式中为SO(2n)的幺正对偶，为G的幺正诱导表示的性质，为某个偶多项式。

到目前为止，分别在[4,9]和[23]中计算了轨道积分。轨道积分的计算不仅对定理1的证明很有用，而且对塞尔伯格迹公式的其他应用也很有用。例如，我们将在接下来的论文中使用引理3来研究奇维紧致和非紧致有限体积轨道的解析扭转行为。

2 介绍

在本节中，我们将建立一些符号，并回顾一些关于双曲轨道和相关李群表示的基本事实。

2.1 Orbifolds

定义1

设一个黎曼流形和一个离散的等距组有效作用于，也就是说，存在一个点。我们假设动作是适当的不连续的，也就是说，对于任何存在并且同时开放的，这样

是有限的。这是一个好的黎曼轨道。

在整篇文章中，我们假设我们正在处理的轨道是好的。

定义2

设Q是一个拓扑空间。Q上的一个轨道图是一个三重体，其中是一个连通的开子集，是一个作用于的有限群，是一个具有从到引出一个同胚的开象的映射。进一步说。在这种情况下，据说统一了美国。

定义3

定义为两个轨道图之间的平滑嵌入，如果是和之间的平滑嵌入，使得。如果对任意一点存在一个开邻域V (x)和一个轨道图V (V)，使得有两个平滑嵌入，则称两个均化的轨道图是相容的。

定义4

轨道上的轨道地图集是成对兼容的轨道图的集合，这些轨道图统一于这样的轨道图。

定义5

如果两个轨道地图集的并集是一个轨道地图集，则它们是等价的。上的一个轨道结构是上的一个等价类轨道位。

定义6

让我们成为一个轨道。与表示相关联的矢量轨道束定义为

其作用如下:

定义7

我们定义轨道束E的光滑截面为

定义8

设F是on作用的基本定义域。然后

备注1

注意上面的定义不依赖于基本定义域F的选择。

2.2 局部齐次向量束

让。设G关于K的Iwasawa分解，对于每一个都有唯一确定的元素，，使得设M是K中A的中心化子，因此G, K, A, M和N的李代数分别用，，，和表示。定义Cartan对合，让它是关于的Cartan分解。

设K的有限维单位表示。

定义9

[13，第4页]用

相关的齐次向量束，其中K作用于

用的光滑截面的空间表示。让我们用紧凑的支撑物做截面。

注意它引出了一个g不变度规。的部分的空间表示。让

（1)

同样，我们用紧支持函数的子空间表示，用关于内积的补全表示

命题4

[13，第4页]有一个规范同构

(2）

类似地，拓扑向量空间和。

定义10

设为正则g不变连接，定义为

在哪里和。

定义11

用相关的Bochner-Laplace算子表示。

令和分别为G和K的卡西米尔元素。假设它是不可约的。设R表示G的正则表达式。

命题5

[13，命题1.1]关于(2)，我们有

（3）

其中为的卡西米尔特征值。

定义12

设为轨道束的局部齐次向量。

2.3 李群

让它定义为

（4）

在G/K上有一个G不变度规它在缩放上是唯一的。适当地归一化，它是双曲度规，G/K是等距的。

用(i, j) '中第一个元素为1，其他元素为0的矩阵表示。让

那么，从第2.3节开始。

定义13

定义的。

设为标准卡坦子代数。是的Cartan子代数。分别用的复化表示。定义with, by

（5）

和的根的集合由

（6)

我们用

（7）

正根的半和等于

（8)

设A在K中的归一化式，设

（9）

是受限制的Weyl组。它的阶为2，作用于M的有限维表示[17,p. 18]。用W(A)的非单位元表示。

2.4 表示

设M的有限维不可约表示。

定义14

我们定义为可测函数的空间，满足

1.：

为所有和;

2 .:

．

回忆，如第2.3节所述，和第2.3节所述。为，用下式定义G on的表示:

（10）

2.5 紧实双曲轨道

本文的主要研究对象是紧双曲轨道。紧性意味着的所有非单位元不是双曲的就是椭圆的。

定义15

一个元素称为双曲if

其中d(x, y)表示x和y之间的双曲距离。

备注2

有些作者用“双曲”来代替“双曲”。

引理6

[25，引理6.6]对于双曲存在，，，从定义13可知，使得这里是唯一的，并且在SO(2n)中被确定为共轭。

定义16

非等元的有限阶称为椭圆元。

另一种定义是:一个元素是椭圆的，当且仅当它共轭于K中的一个非单位元素，因此在不失一般性的前提下，我们可以假设它的形式为:

（11）

Where and，。在(11)中有偶数个特征值1，因为一个元素应该属于。

定义17

如果在G中的扶正器同构于，则椭圆元是正则元。

目录

摘要
1 介绍
2 介绍
3.轨道，轨道束和伪微分算子
4 来电显示 分析部分
5 热核
6 来电显示 最后分析，第二部分
7 塞尔伯格轨迹公式
8 塞尔伯格函数
参考文献
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3.轨道，轨道束和伪微分算子

3.1 索伯列夫空间

为了定义轨道上的Sobolev范数，我们首先在局部定义Sobolev范数。设和如定义二所示。注意if是有限的，那么

（12）

式中为和的-等变截面的空间，来自定义8。该空间具有通常的Sobolev范数，该范数限制为-不变截面。我们装备，因此有以下规范:

（13）

For和相应的元素。其次，我们利用一个轨道集和一个单位分割来定义轨道束光滑截面空间上的Sobolev范数。使用等价地图集定义的Sobolev规范本身是等价的。空间表示关于这些范数中的任何一个的补全;把。

备注3

同构(12)并不一定证明它是无限的。例如，让act on by和put。然后，但是。

3.2 伪微分算子

我们回顾了关于轨道上的伪微分算子的一些基本事实。更多细节参见[2，第28页]，[10，第2.2节]。

定义18

让我们成为一个轨道束。对于任意的轨道图，设E /的局部平凡化，如[10,section . 2.2]所示。如果满足下列条件，线性映射就是m阶的伪微分算子:

1. 1.

   A的Schwartz核在对角线的任何邻域外都是光滑的，

2. 2.

   对于任意和任意E在折线图上的局部平凡化，有算子

   是由对上的m阶伪微分算子的-不变函数的限制给出的，该算子与上的诱导作用交换。

定义19

伪微分算子A是椭圆的，如果伪微分算子对任意选择的轨道图是椭圆的。

Sobolev嵌入和Kondrachov-Rellich定理在流形的情况下是有效的:

命题7

(Sobolev嵌入)对于，嵌入是连续的。

8号提案

(Kondrachov-Rellich定理)假设是紧致的，那么嵌入是紧致的。

命题7和命题8的证明

代替原来的证明[21，第60页]，人们选择了一个统一的分割，并将定理简化为它们在单个图中的局部版本。由于轨道图上的截面是对应光滑图上的-不变截面，因此通过逐字重复[21]中对-不变截面子空间的局部参数获得所需的证明。

备注4

关于Sobolev嵌入和Kondrachov-Rellich定理在轨道上的另一个证明，见[3]。

备注5

让我们变得简洁。注意，任何0阶的伪微分算子都扩展到中的有界算子;比较[21，定理6.5]。此外，命题8暗示了任何负阶的伪微分算子都是紧的;比较[21，推论6.2]。

定理9

设H为二阶椭圆伪微分算子，作用于带前导符号的紧化好的轨道束E的各部分

（14）

对于一个子集，设

和

那么对于每一个，存在H的谱包含在集合中。而且，H的谱是离散的，且存在，

证明

定理的证明与我们参考[21，定理9.3和定理8.4]的光滑情况相似，除了以下不同:在流形的情况下，单位的划分将证明简化为，而在我们的情况下是有限群。

4 来电显示分析部分

在本节中，我们从[16，第2节]的泛函分析中提炼出紧轨道的必要事实。与紧流形的主要区别在于我们将所有涉及Sobolev空间的定理替换为上一节中它们的轨道类似物。请注意，虽然我们假设我们的轨道是好的，但直到本节结束才使用这个假设。紧凑的要求是至关重要的，因为我们将需要注释5。

设一个厄米轨道束，在E中取一个厄米度规设E中的协变导数与厄米度规相容。

定义20

操作员

（15）

是与连接相关的博赫纳-拉普拉斯函数和厄米光纤度规。

根据[2，定理3.5]，Bochner-Laplace算子本质上是自伴随的。我们用同样的符号表示它的自伴随扩展。考虑一类椭圆算子

（16）

它们是拉普拉斯算子被一阶微分算子扰动，即。

（17）

其中是一阶微分算子。

对于每一个存在使得H的谱包含在定理9中。虽然H通常不是自伴随的，但它有很好的谱性质。其原因如下:是一个序的伪微分算子，因此由注5是紧的。这意味着[12]是有限维h不变子空间的代数直和的闭包

（18）

使得H的限制有一个唯一的特征值，对于每一个k存在，并且。

用h的谱表示。由定理9可知H存在一个Agmon角，我们可以定义其平方根。如果是固定的，我们用。注意，这是一个经典的带前导符号的伪微分算子

（19）

通过谱定理我们可以定义。和的主要符号一致，因此

(20)

其中为零阶伪微分算子。

引理10

的解是紧的，而的谱是离散的。的谱包含在定义域内

证明

证明类似于[16，引理2.3]。首先注意到它是一个1阶的椭圆伪微分算子，因此根据备注5，它的解是紧的，这意味着谱是离散的。第二，将算子扩展为注5中的有界算子;表示

（21）

回想一下[8，第五章，(3.16)]，

（22）

式(21)和式(22)暗示

因此是可逆的

此外,

这和(22)一起意味着

因此。

由谱分解(18)可知，其谱分解与H具有相同的特征值和多重度。

为了进一步使用，我们需要介绍一些函数。

定义21

表示为上的Paley-Wiener函数的空间，即

用电感极限拓扑。上面是整个函数的空间对于每一个都存在这样的空间

命题11

给定，令

（23）

为h的傅里叶-拉普拉斯变换，则满足(23)相反，根据佩利-维纳定理，每个都是函数的傅里叶-拉普拉斯变换。

回想一下我们的假设。

定义22

让等高线是两条半线和半圆的结合，顺时针方向。

根据引理10存在，使得它包含在的内部。对于偶数Paley-Wiener函数(或)放

（24）

引理12

是一个光滑核的积分算子。

证明

证明的方法与[16，引理2.4]相同。因为我们已经

这个算子是一个有界算子，因为它在上是速降的。我们可以很容易地观察到，在流形的情况下，是关于范数的补全，这里是范数。由此得出，对于所有，扩展到有界算子，因此是平滑算子。

5 热核

设为定义6中的一个轨道束，给它配上厄米纤维度规设为作用于E截面上的Bochner-Laplace算子;假设E是一个k阶的复轨道束，我们的目标是构造和研究。

5.1 热核的存在唯一性

定义23

我们说它是一个热核，如果它满足:

1. 1.

   K在三个变量中都有，在第一个变量中，在第二个变量中，

2. 2.

   ，其中表示作用于第二个变量，

3. 3.

   对于所有，狄拉克分布在哪里。

如果是紧双曲轨道(因此是有限生成的)，则热核的存在性和唯一性由以下两个引理得出:

引理13

[20，引理8]特征为0的域上有限生成的矩阵群具有有限指标的正规无扭转子群。

引理14

假设是一个好的黎曼轨道上的轨道束;更进一步，设M是紧流形，是M的保向等距的有限群，用E到M的升力表示，设为上的热核。让自然投射，让自然投射

（25）

为的诱导束映射。那么E上的热核等于

（26）

其中和分别是和的元素。

5.2 热渐近性的计算

引理15

在引理14中，我们有

（27）

在哪里

其中，是中的一些系数，是M中的不动点集。

证明

由(26)可知

（28）

式中和分别表示M和上的黎曼测度。我们研究了(28)的渐近行为如下[5]。式(28)右侧第一个和的渐近展开式由以下定理得出:

定理16

[5，定理1.7.6]存在，使得

注6

前导系数由。

式(28)右侧第二次和的渐近展开式由[5，引理1.8.2]稍作修改:

定理17

有这样的存在

式中为上的黎曼测度。

证明

通过[5，引理1.8.2]，

（29）

请注意,

（30）

那么，让我们

（31）

将式(29)、式(30)、式(31)放在一起，可以推导出定理17。

应用定理16和定理17完成了引理15的证明。

像往常一样，我们建立了Weyl定律。

定理18

让

的谱的计数函数，其中特征值是用代数多重性计数的。然后

证明

由陶伯利定理，引理15和注释6推导。

6 来电显示最后分析，第二部分

与[16，引理2.2]类似，我们得到:

定理19

(Weyl定律)对于定理18定义的计数函数N(r, H)，

（32）

证明

由定理18得到的Weyl律和(32)的紧性[12,1，推论8.5]。

我们需要建立一个关于平滑算子的辅助结果。以下引理的证明逐字重复[16，命题2.5]:

引理20

让

是光滑核K的积分算子;用黎曼测度表示。那么A是跟踪类操作符和

证明

这个证明推广了[11,Chapter VII, 1]。设为一个由特征截面组成的标准正交基。我们可以把K在标准正交基中展开成

（33）

在哪里。请注意,

因此，对于每一个，存在这样的

对任何人来说。它与定理18一起表明(33)的右侧在-拓扑中收敛。

定义24

定义为带核的积分算子。把

定义25

定义成映上的正交投影。把

根据定理18，和都是Hilbert-Schmidt算子，因此是trace类;此外，到(33):

现在我们把这个结果应用到，其中和是偶数(或)。设为的核。根据引理20，是一个跟踪类运算符，我们有

(34)

此外，下列引理成立:

引理21

让它是偶数(或)。然后我们有

(35)

的多重性在哪里。

证明

根据Lidskii定理[6，定理8.4]，迹等于的特征值的和，用它们的代数多重数来计数。我们可以证明分解(18)是不变的并且它有唯一的特征值。应用Lidskii定理和(34)，我们得到引理21。

7 塞尔伯格轨迹公式

7.1 波动方程

在本节中，我们用波动方程的解来描述平滑算子的核。设为双曲轨道;进一步表示和。如引理13所示，它是一个流形。设为有限维的表示，设

是相关的向量轨道束。以to为限，用by表示

相关的向量束。请注意，每个-不变量都可以被拉回，也可以被下推到。

命题22

分别表示和上的s-Sobolev范数和。则存在这样的不等式，对于上述任意f和，下列不等式成立:

证明

的有限覆盖是由这个事实得出的。

考虑波动方程:

(36)

对。

引理23

对于每一个，波动方程(36)都有一个唯一解。此外，对于每一个和，存在这样的条件，

（37）

证明

从[16，命题3.1]可以得到证明:首先将波动方程拉回，并在那里求解。后拉波方程的解满足[16，(3.2)]，即(37)型的估计，但对于Sobolev范数而不是。而且，它是不变的，因为初始条件的回拉是不变的。第二，把解决方案推到22号提案。

引理24

设(或)和为的傅里叶变换。对于每一个，我们有

（38）

证明

我们遵循[16，提案3.2]。如定义22所示，选择如下

为，定义操作符:

注意，

为具有初始条件的波动方程(36)的唯一解;证明是通过代入的，它是一个轨道。接下来的证明就是要证明这一点

(39)

(39)的右边收敛于，而左边收敛于。收敛性的证明类似于流形的情况。

现在我们想要再次提起波动方程，但是现在是G/K。让

从E升到G/K，让

是H到G/K的升力。设和为G/K (u(t, x))的回拉;分别为F)和F。那么下面的说法成立:

(40)

如[16，(3.15)]中所示，借助于有限传播速度参数，我们可以证明，如果:

1. 1.

   要么我们解出波动方程(36)然后把解拉回到G/K，

2. 2.

   或者先将初始条件拉回G/K，再求解波动方程(40)。

设d(x, y)表示的测地线距离。定义。

引理25

存在着和拥有着，对于我们所拥有的一切

证明

该证明遵循[16，命题3.3]，基于有限传播速度的论点，对轨道也是有效的。

利用引理24和25，我们得到

(41)

对所有人来说。设G/K作用的基本定义域，设

（42)

为的诱导束映射。请注意,

(43)

通过将式(41)改写为式(43)来论证[16]，可以证明的核是由式给出的

(44)

式中，x和y到f的任何抬升，结合引理21，我们得到了[16，命题3.4]的一个类似式:

引理26

让它是偶数(或)。然后我们有

7.2 扭曲的Bochner-Laplace算子

在本节中，我们按照[16，第4节]来介绍扭曲的非自伴拉普拉斯算子。设为双曲奇维轨道，其中。

设为有限维的表示，设为相关的轨道束;设f上的一个标准平连接，设E是一个厄米向量轨道束上的厄米连接。

定义26

我们配备了一个产品连接，定义为

对。

定义27

拉普拉斯所关联的扭曲连接由

其中是不变的二阶协变导数。

定义28

用Bochner-Laplace算子表示。

话7

的主要符号由

令和分别为E和F对G/K的回调。请注意,

令和分别为和到G/K的升力。

请注意，操作符的分割如下:

(45)

哪里起作用。然后对于任意方程的唯一解

分裂也是由

其中由谱定理定义。设为偶数，设为的核

从引理25可以得到。由式44可知，算子的积分核为

引理26包含以下引理:

引理27

设F是一个平面向量轨道束，与有限维复表示相关联。让定义27中的拉普拉斯扭曲连接在其中起作用。设为偶数(或)，用的核表示。然后我们有

7.3 局部对称空间和预迹公式

在本节中，我们将引理27应用于E是局部齐次轨道束的情况。

设为有限维(可能是非酉的)复表示，并设为与上一小节中相关的平面向量束。设为K的酉表示，并设为定义12中的局部齐次轨道束。

用作用于定义27的扭曲连接拉普拉斯表示。为了简化符号，表示:

(46)

如定义5所示。我们现在感兴趣的是用另一种方式重写关于局部齐次轨道束的信息。注意这是一个g不变算子。对于等距(2)，它可以用紧支撑函数来标识

这样

然后通过卷积作用:

(47)

的核是由

(48)

根据引理27，我们得到

(49)

定义29

用共轭类表示。

定义30

为，分别表示in和G的中心点和中心点。

根据共轭类收集(49)右边的项。分离得到预迹公式。

命题28

[预迹公式]对于所有偶数(或)，我们有:

(50)

我们把自己限制在这种情况下。为了使公式更明确，我们需要计算(50)右侧的轨道积分，这将分别在7.4节和7.5节中对双曲和椭圆进行计算。

7.4 双曲元的轨道积分

定义31

对于双曲，将其基本元素定义为这样的元素，对于任何这样的元素，它都遵循这样。

原始元素不一定是唯一的。它被定义为

的极大紧子群。

注8

请注意,

如式(10)所示，用的性质表示。对于双曲型，我们稍微修改[25，定理6.7]，得到以下引理:

引理29

让它成为一个双曲元素。那么下面的说法成立:

在哪里

(51)

出自定义15，出自引理6。

证明

对[25，定理6.7]的修改如下:我们取并修改为注8。

7.5 椭圆元的轨道积分

在这一节中，我们计算轨道积分

（52）

椭圆。我们可以假设如(11)所示。注意，in一般不是正则元素，例如，如果或某些角度重合;参见定义17。为了进一步使用，我们想用一个正则元素序列来近似:

其中序列，按以下方式选择:对于固定j，所有序列都是两两不同的，即如果，和

子节的策略如下:首先我们回忆如何计算，其次我们应用对称代数的某个元素，并设置为获得。为了计算，我们将[9，定理13.1]的调整版本与以下命题结合在一起:

命题30

让我们举一举。设为正则投影。表示为in的扶正器。定义

然后

(53)

证明

请注意，这是一个2倍的覆盖，因此

此外,

因此

(54)

这证明了这个命题。

引理31

[9，定理13.1]轨道积分可以表示为

(55)

哪里不依赖。(55)中的和是有限的，因为k是有限的。上面表示s的行列式，对于每一个，其中和，张量积为:

W为式(6)中的Weyl基团。

备注9

对于椭圆，因此

不依赖。

备注10

我们的符号不同于[9，定理13.1]，即h, f，分别对应于我们的，和;定义见[9，第349页]。

定义32

用词根表示。

在不失一般性的前提下，假设(11)中所有的都不相同，则的稳定器等于。的根系统可以写成

我们可以选择这样的顺序

引理32

[23，(5.2)]存在这样的情况

我们准备证明本小节中的主要定理:

定理33

存在一个偶多项式，使得

证明

定理33成立于

(56)

根据引理31和32。我们需要证明它是一个偶多项式。注意，every是一个with的词根，因此

(57)

设与式(8)中一样。为简单起见，假设用克罗内克函数表示。然后

(58)

注意上面总是等于0。现在我们要研究(61)对的依赖关系，为此我们将上面的乘积拆分为:

首先要注意

(59)

不依赖。第二,

(60)

综合(58-60)得出

(61)

哪里不依赖。

注意(61)是一个偶多项式，并由注9决定，不依赖于。因此，式(57)和式(56)也是偶数多项式。

我们要指出第33条定理与下列情形的相似之处:

34号提案

[9，定理13.2]存在一个偶多项式，使得

为了进一步使用，我们需要证明多项式的一个性质。设M的有限维表示具有最高权值

(62)

则表示(9)中W(a)的非单位元的最大权值等于

(63)

引理35

多项式在W(A)作用下不变:

证明

回想一下，它通过偶号变化和排列作用于根。那么由式(62)和式(63)可以得出，如果对某些人，那么，对所有人都适用。它是这样的。到(61)，多项式只取决于哪一个完成了引理35的证明。

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