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2025-02-06
本文提出了一个双变量竞争过程来描述SIS型流行病通过水平和垂直传播的传播。我们感兴趣的是精确复制数\(\mathcal{R}_{\ mathm {{exact}}，0}\)，它被看作是众所周知的基本复制数的随机版本。我们通过将该数字分解为两个随机贡献来表征\(\mathcal{R}_{\ mathm {{exact}}，0}\)的概率分布函数，使我们能够区分传染性人际接触和新生儿感染的父母感染。给出了数值算例来说明我们的分析结果。
病原体的垂直传播(Busenberg and Cooke 1992)，如病毒和细菌，是指从被定植的父母到其后代的代际传播。术语TORCH复合体包括几种垂直传播感染(例如，见Jaan和Rajnik 2021)，它与先天性弓形虫病感染、其他感染(水痘带状疱疹病毒、衣原体、乙型肝炎、人类免疫缺陷病毒、细小病毒、梅毒和寨卡热等引起的水痘)、风疹、巨细胞病毒和单纯疱疹感染有关。对于某些病毒，包括人类免疫缺陷病毒和乙型肝炎病毒，感染可能通过接触或转移血液和体液(精液、阴道液)而发生。这意味着，在这种情况下，在人与人之间的接触导致病原体传播的同时，疾病的代际传播是可能的。
在上述病原体的激励下，主要从确定性的角度分析了多种具有垂直和水平传播的流行病模型，特别强调了全局稳定性，如无病平衡和地方性平衡的渐近稳定性。虽然不需要列出涉及垂直和水平传播的确定性流行病模型的详尽清单，但我们可以提到一个易感感染(SI)模型(Kang and Castillo-Chavez 2014)，该模型考虑了宿主-寄生虫相互作用，包括Allee效应和水平和/或垂直传播，假设感染个体可以经历病原体诱导的生殖能力下降;具有隔离个体和Beddington-DeAngelis发病率的易感-感染-易感(SIS)模型(Chen and Zhao 2020);易感暴露-感染去除(SEIR)模型(Li et al. 2001);易感-暴露-感染-去除-易感(SEIRS)模型(Gou and Wang 2007);以及采用脉冲疫苗接种的易感传染性去除(SIR)模型(2005年D 'onofrio;Gao et al. 2007;Lu et al. 2002)，以及易感个体和康复个体的新生儿的非线性发病率、治疗和疫苗接种(Hu et al. 2012)等。Naji和Hussien(2016)的模型考虑了SIRS型和SIS型感染的两种菌株，它们在宿主人群中通过水平和垂直传播传播;另见Ref. Bichara et al.(2014)，其中作者考虑了具有n种不同病原体菌株和垂直传播的SIS和SIR模型，包括在SIR模型框架内婴儿被动免疫的可能性。在植物病毒流行病学的背景下，我们建议读者参考Jeger等人(1998)的论文，其中植物寄主的seir型流行病与昆虫媒介种群垂直传播的易感暴露感染(SEI)模型有关。Jeger等人(1998年)的模型描述了病毒与病媒的相互作用以及可能的控制选择，包括移除和摧毁患病植物以及减少病媒种群规模，例如通过杀虫剂或植被管理。Naresh等人(2006)引入了一个非线性模型，通过纵向传播和其他人口统计学和流行病学方面研究艾滋病毒/艾滋病在不同规模人群中的传播。
为了研究人与人之间接触的不可预测性如何影响疾病的传播，Kiouach和Sabbar(2018)假设接触率受到高斯白噪声的干扰，并在具有垂直传播和从感染室向易感室转移的随机SIRS模型中建立了疾病持续存在和灭绝的充分条件。在具有垂直传播和媒体覆盖的SIR模型中，Wang et al.(2020)引入了随机扰动，证明了正解的存在性和唯一性，以及均值的消去和持久性。Zhang等人(2018)在分析具有垂直传播和易感个体迁移以及易感个体和感染个体迁移的SIS模型中的随机扰动时，使用适当定义的Lyapunov函数推导出遍历平稳分布，以及病原体灭绝和持续存在的条件。
在本文中，我们着重于马尔可夫链模型来描述SIS型流行病通过水平和垂直传播的传播。因此，潜在的马尔可夫链被视为一个竞争过程(Iglehart 1964;Reuter 1961)，其中点(i, s)表示感染易感个体亚群的大小，并且只允许从(i, s)到相邻点的一步过渡;因此，这一过程可以被认为是标准SIS流行病模型产生的单变量出生-死亡过程的自然推广。具体来说，兴趣在于描述精确复制数的概率行为(Artalejo和Lopez-Herrero 2013;Economou et al. 2015, Section 3.3)，这里将其分解为两个随机贡献，记录了个体之间的传染性接触和具有传染性父母的新生儿感染。我们的方法是基于使用有限的准出生-死亡(QBD)过程和相关算法来评估其平稳向量(Akar等人，2000;De Nitto Personè and Grassi 1996;gver et al. 1984, Section 2)，第一次通过时间和逗留时间(gver et al. 1984, Section 3-4;Gómez-Corral et al. 2020)和摄动特性(Gómez-Corral和López-García 2018)。
在确定性设置下，基本再现数是迄今为止数学流行病学中使用最广泛的指标(Li et al. 2011;Roberts 2007)，主要是由于其定义简单，而且它通常是一个阈值，只有当(van den Driessche and Watmough 2002)时，才能确定疾病持续存在。同样重要的是要注意其在最终大小方程的有效性及其解的唯一性中的作用(Ma和Earn 2006)，以及根除病原体所需的控制努力等方面。当采用随机方法时，众所周知(Artalejo和Lopez-Herrero 2013)，其值高估了病原体的繁殖潜力，特别是当所涉及的群落规模较小时。对于流行病中的马尔可夫链模型来说，一个适当的替代方法是精确再现数，这是Artalejo和Lopez-Herrero(2013)通过将定义转化为随机变量引入的。与之相比，最相关的特点是消除了重复感染接触的影响;它不一定在入侵时定义，但在任何以后的时间;它还提供了一个更准确的指数来量化疾病的传播。然而，对疾病的分析处理需要先验地知道流行病模型的基本参数。在计算的质量函数及其矩时，最集中的工作是矩阵的反演和相关的内存需求，其中的数值解可能在较大的种群规模下经历不稳定。这些特征和局限性表明，在共享密闭空间的小型社区中，如家庭和重症监护病房(Economou et al. 2015)、用于确认疫苗接种间接影响的小型社区设计(Fernández-Peralta和Gómez-Corral 2021)和医院病房(Chalub et al. 2023)等，以更现实的方式量化疾病传播潜力是足够的。
本文的组织结构如下。在第2节中，我们首先给出了具有垂直和水平传播的SIS流行病模型的数学描述，然后引入了一个双变量竞争过程来描述时刻t的易感个体和感染个体的数量。在第3节中，我们描述了易感个体与(预定的)初始感染个体接触后继发感染的确切数量的联合概率律。以及以最初感染个体为亲本的感染新生儿的数量。基于底层q矩阵的分块三对角线形式，我们利用第一步分析和分块高斯消去，推导了计算的联合概率律的迭代过程。在第四节中，我们的分析结果用一些数值实验来举例说明。最后在第5节中进行了简短的讨论。
考虑一个由N(t)个个体组成的封闭且均匀混合的种群，该种群可分为易感个体(S)和感染个体(I)两个区室或亚种群，其密度分别在时刻t用S(t)和I(t)表示;见图1。假设一个易感个体是健康的，但根据泊松过程的速率，它可以通过接触传染个体而变得具有传染性，在参数的指数分布时间内，它应该保持传染性。具有治疗功能的卫生保健行动可有效缩短感染个体的自然恢复期(平均长度)，其中为治疗率，Footnote 1, C为卫生保健系统达到其最大能力的阈值。这意味着在达到最大资源之前，治疗随感染个体数量i线性增加，之后保持不变。
SIS流行病模型中具有垂直和水平传播的隔室之间的过渡图
该模型包含了个体的出生和死亡，以及疾病的垂直传播。因此，总种群规模不是恒定的，但在一定意义上假定生态系统中有限的资源阻止种群增长超过某一最大规模。一个有传染性的个体生下一个有比率的易感个体或一个有比率的传染性个体，其中是出生率代表有传染性的父母是易感个体的后代所占的比例。只有易感个体的父母天生易感，这是常有的事。易感个体存在自然死亡率，感染个体面临自然死亡或疾病联合死亡率。控制新生儿传染性接触和感染、恢复时间以及出生和死亡事件的基本过程被认为是相互独立的。
从任何状态转换
出生率和不一定假设相等，这将使我们能够分析生育控制措施的影响，例如，对传染性个体的亚种群，取递减值，取固定值。这一选择使我们能够区分传染性个体的死亡是由于自然原因还是由于疾病，以及个体的死亡是否与隔间无关，因此，疾病何时会导致传染性个体死亡。
我们注意到，该模型与具有人口统计学if的SIS流行病模型一致，导致状态空间上的单变量出生-死亡过程。标准SIS流行病模型(Allen 2003，第7.3.2节)是在选择忽略出生和死亡的情况下导出的。
上述马尔可夫公式产生了一个双变量竞争过程(Reuter 1961)，在有限可约状态空间中取值
其从状态(i, s)到状态的非消失无穷小跃迁率(图2)由
对于有。这些比率分别与感染个体的死亡、易感个体的死亡、感染个体的恢复、易感个体和感染个体间的感染性接触、感染个体的出生和易感个体的出生有关。我们还考虑值，其中为进程在状态(i, s)下停留时间的比率;这是
为，其中表示克罗内克函数。请注意，状态(0,0)是吸收的，并且在无感染状态类上演变为一个生-死过程，具有出生参数和死亡参数。
为了以后使用，我们使用状态的字典顺序，并按级别将状态空间分解为，其中第i层被定义为子集
对。这种状态标记允许将过程重新表述为有限QBD过程(Gaver et al. 1984;Gómez-Corral et al. 2020)与q矩阵
（1）其中子矩阵是有维数的，对于整数和。特别是，非消失条目是指因感染个体康复或死亡而被移走;的对角线条目由状态(i, s)给出，而不消失的非对角线条目与易感个体的出生和死亡有关;不消失的条目与新的感染有关由于疾病的水平和垂直传播。这些子矩阵的表达式总结在附录A中。
资源有限条件(即与)的直接后果是，爆发的长度是一个无缺陷的随机变量。这意味着，从任何初始状态，过程几乎肯定会达到无感染状态。事实上，与初始状态无关，第一次进入无感染状态的平均时间是有限的。
这种情况下的过程动力学与具有无限多个状态的QBD过程有关，因此必须进一步研究进入无感染状态类的第一通道的发生情况。虽然这超出了本工作的范围，但我们在此简要指出，通过Gómez-Corral等人(2023，定理1)，具有无限多个状态的QBD过程始终是正则的，因此不等式，如果，可以被视为足以使从任何初始状态到无病状态子集的第一次通道确定性地发生，并且在有限的平均时间内;例如，参见Gómez-Corral等人(2023，定理3)和路透社(1961，定理2-3)。
让我们考虑一个入侵时间(即，和)，并定义最初感染个体在恢复或死亡之前产生的继发感染的确切数量(Artalejo和Lopez-Herrero 2013)，这应该发生在某个随机时间。具体来说，时间是一个指数分布的随机变量，具有均值。过程的最显著特征是疾病的垂直和水平传播，我们将其分解为两个随机贡献，并根据以下事实:感染分别与以最初感染个体为父母的传染性新生儿和易感个体与最初感染个体之间的传染性接触有关，这两个事件都发生在时间之前。为了在疫情爆发之初防止疾病传播，将其分解为并适合于优先采取节育措施，特别是来自有传染性父母的节育措施，而不是防止人与人之间接触的应急措施。例如，保持社交距离和洗手，反之亦然，并分析这些预防性干预措施的限制可能对个体之间的关系甚至群体的生存造成的后续后果。例如，当样本路径的大小或其期望大于1时，的值和的值将有可能以不同的方式量化特定干预措施对种群动态的影响。传染后代的概率(表1)与疾病密切相关，因此在上述干预措施的框架内无法对其价值采取任何行动。
令表示初始感染个体在某一时刻的状态(即在某一时刻之后)。特别是，如果最初的感染者在康复前死亡;因自然原因恢复的;如果经过治疗恢复了。目的是通过对条件概率的求值来表征的联合概率律
对于和对。
很明显，和与在时间间隔内发生的事件有内在联系，因此，状态和对的条件概率满足等式
(2) (3) (4)这些等式是通过观察(2)-(4)的左边对应于边际质量函数得到的。
在评估概率时，对于一个预定状态和一个固定对，我们首先定义，对于状态和任何时间，初始感染个体在剩余区间内产生感染性后代并与易感者产生感染性接触的条件概率，其在时间的状态为，给定(i);s)为的当前状态，初始感染个体的感染期在时刻t处于过程中。然后，我们推导出一个迭代过程，从条件概率族出发，对每个状态和对，用和来计算条件概率;见图3。
在特殊情况下，计算一个预定状态和一对固定状态的条件概率族的迭代过程
通过第一步分析，我们可以推导出条件概率、和的线性方程组。具体来说，是发现
（5）对于各州来说。类似地，对于的条件概率和，被看作分别用和代替项来满足(5)。对于任何状态和对，也可以看到
（6）对于各州来说。
式(5)和式(6)可以很容易地写成矩阵形式，使用列向量，为，为整数项，以及子矩阵和的适当分解。具体来说，速率子矩阵用
其中，和由状态(i, s)的无穷小过渡率组成，分别与最初感染个体的死亡、自然恢复和治疗后的恢复相关，并与剩余感染个体的死亡和恢复相关的过渡率相关。速率子矩阵以类似的方式写成如下:
其中和分别记录了初始感染个体在时间之前产生的纵向和横向继发感染相关的无穷小转移率，记录了剩余感染个体产生的继发感染相关的无穷小转移率。
矩阵形式，方程。(5)、(6)由式给出
（7）对于和，其中是a(1)的列向量;注意if、if和if。
重要的是要注意，对于固定的一对，我们不需要在未知向量中同时求解(7)，而只需要求解矩阵方程
（8）对于未知向量，对于预定选择，有if，有if。因此，应用块高斯消去法求解(8)得到
(9) (10)的时间和地点
对。
最后，我们注意到，对于一个预定的状态和一个固定的对，算法1用算法2求出线性方程组(5)和(6)的解。
列向量的计算，为一个预定的状态和一个选定的对。
第一步:;
.
第二步:同时，做
;
;
然而，做
从算法2中计算;
;
;
;
然而，做
从算法2中计算;
;
.
列向量的计算，对于一个预定的状态和一个固定的对。
第一步:;
然而，做
;
.
第二步:同时，做
;
;
.
第三步:;
然而，做
;
.
对于场景1()、2()和3()，在入侵时刻的质量函数与出生率的关系
在本节中，我们提出了一些数值结果，以探讨在流行病的早期阶段，接触率和出生率对疾病的水平和垂直传播的影响。我们考虑一个最大规模的群体，它最初由一个感染者和20个易感个体组成。在我们的实验中，根据接触率定义了三种场景，分别在场景1和场景3中发生较少和更频繁的感染接触，并与值和相关，场景2对应于。出生率和死亡率通过值的关系和关系相互关联。因此，假定易感个体亚群在潜在的出生率和死亡率方面随时间的推移表现稳定;相比之下，预计感染人群的分娩频率低于易感人群，感染人群比易感人群更容易死亡。该值是假定的，因此来自有传染性父母的新生儿被认为是有传染性的。假设传染性个体平均在1.0个单位时间内从自然原因中恢复;也就是说,。处理函数由速率和阈值定义。
在图4、图5和图6中，的边际质量函数、的联合质量函数和的边际质量函数分别绘制为接触率和出生率的函数。选择图4和图6中ox轴上的特定间隔，以及图5中ox和y轴上的特定间隔，累积至少一个相应概率分布函数的概率。我们观察到，正如直觉告诉我们的那样，个体之间的接触率越高，在流行病的早期阶段，病原体就越容易从最初的感染个体传播到易感个体。这种行为与图4有关，在图4中，对于接触率的小值，可以看到的边际质量函数更集中于值和接近它的值，如在场景1中所见，无论-如何，而在更高的r值上变得更加集中，例如，在场景3中，- as增加。在我们的数值实验中，与关于的概率律的行为不同，出生率的增加不会导致病原体的进一步传播;例如，场景1中的质量函数随着增加而变得更加集中于价值及其周围环境，这与预期相反。这种明显矛盾的行为可以通过考虑到从最初感染个体导致具有传染性的后代的出生(即对值的贡献)在预期长度的时间间隔内记录下来来解释，其中。因此，这个时间间隔的长度可能会随着增加而减少，因此，尽管出生率在增加，但与最初感染个体相比，感染个体的出生数量减少了。这使得病原体从最初的感染个体传播到其后代的可能性随着值的增加而降低。
情况1()、2()和3()在入侵时刻的联合概率
图5和图6更详细地显示了水平传播引起的继发感染和垂直传播引起的继发感染对概率定律的贡献。脚注2可以看出，由于最初感染的个体所生的传染性后代较少，病原体更有可能通过人与人之间的接触传播;即在图5中与的集合上。请注意，在这种情况下，随着人与人之间的接触数量的增加，值预计会更高。同样值得注意的是，人与人之间接触的数量对如何通过水平传播继发感染的数量来预测垂直传播继发感染的数量具有显著影响。通过比较场景1和场景3中选择的整数，可以观察到这种行为。较小的值-特别是-允许在人与人之间的接触数量较少时(场景1)准确预测较小的值，而较大的值-即-不允许。相反，在我们的数值实验中(场景3)，当人与人之间的接触数量增加时，对较小值的准确预测是可能的。
(左)和(右)的边际质量函数相对于接触率和出生率，在入侵时间
和的边际概率规律，由图6可知，的边际质量函数受和的变化影响较大，而对这些参数的变化不太敏感。特别是，我们在实验中看到的主要贡献来自病原体通过人与人之间的接触传播。
综上所述，从表2和图7中可以看出，用-表示的-的最可能值，如预期的那样，表现为的递增函数。并且，相应的条件概率开始向其最小值减小，然后随着的增大而增大，与的无关。相反，在我们的数值结果中，值随着的增大而减小，相应的条件概率作为的函数并不具有共同的一般行为(表2)。
条件概率与接触率和出生率，在入侵时间
本文提出了一个马尔可夫链模型，描述了SIS型流行病通过易感个体和感染个体之间的相互作用传播，以及从殖民父母到其后代的代际传播。该模型的分析需要使用双变量竞争过程，这可以看作是对经典SIS流行病模型中无垂直传播的单变量出生-死亡过程的自然推广。由于双变量竞争过程可以表述为QBD过程，因此广泛的块结构马尔可夫链的数学技术在流行病学设置中具有很大的潜力来评估众所周知的描述符;在这些描述符中，我们可以提到易感和感染个体数量的极限分布，因为时间指数趋于无限，爆发的随机长度，极值和摄动性质。在分析病原体如何在流行病的早期阶段传播时，精确的繁殖数已经用两个随机贡献来表示，使我们能够量化有多少次继发感染与最初感染个体的水平和垂直传播动力学有关。所得到的随机数和的联合概率律已被表征为有限线性方程组，可以用块高斯消去法以迭代的方式求解。很明显，由于次级情况与指数分布的时间有关，和的概率律和的概率律是无缺陷的。在这种情况下，由于具有无限可能状态的潜在QBD过程的规律性(注1)，并且Eq.(8)被视为对整数仍然有效。
一个主要问题涉及对病原体在人与人和代际水平上传播的机制的理解。这些专门的版本有助于理解，特别是在人口规模随时间稳定的情况下，人与人之间的行为如何比从最初的殖民地父母到其后代的代际传播更强烈地影响流行病早期阶段的动态。因此，将精确的繁殖数分解为和可以被认为是研究垂直传播机制在流行病建模中的重要性的一个很有前途的工具。的边际质量函数被视为基本上集中于该值的特殊情况下，可以适当地用简单的单变量出生-死亡过程取代双变量过程，因此，对相关描述符的相应分析可能在分析上得到简化。
SIS流行病模型中具有垂直和水平传播以及暴露前和暴露后接种疫苗的隔室之间的过渡图
其他具有垂直传播的SIS型流行病的马尔可夫链模型可以通过采用我们的方法进行适当的研究。举例来说，我们考虑了通过允许接种疫苗来丰富模型的可能性(图8)，并举例说明了QBD公式如何成为推导联合分布的关键。必须将接种疫苗(V)个体的第三个隔间纳入模型，由此产生的三变量竞争过程的无穷小动态(Iglehart 1964)由以下状态(i, s, V)到状态的不消失过渡率控制:
对于有and, and, where的状态
对。在这些表达式中，为接种疫苗个体的死亡率，为接种疫苗父母的健康个体的出生率，以及易感个体通过接种治疗性(暴露后)疫苗而接种疫苗的比率。概率和with分别与易感父母、接种疫苗父母和感染父母在健康个体出生时进行预防性(接触前)疫苗接种干预有关，概率与with与感染个体康复后使用预防性疫苗有关。疫苗被认为是完美的;也就是说，疫苗是完全有效的，接种疫苗的人获得对病原体的终身免疫。与过程的情况一样，可以看到的Q矩阵具有Eq.(1)中Q的结构化形式，使用级别标记状态，为。这意味着，对于过程，子矩阵和(1)中的子矩阵分别记录了与感染个体的恢复和死亡以及新感染相关的无限小率，并且对角线条目为，对于(i, s, v)表示。不消失的非对角线条目对应于易感个体和接种疫苗个体的出生和死亡，以及对易感个体的疫苗治疗使用。过程、整数和的列向量定义在3.1节中，状态的概率用条件概率代替。通过将3.1节和3.2节中的方法应用于处理，我们发现式(9)和式(10)可以确定的联合概率律;特别是，必须适当分解矩阵(分别为)，以类似的方式区分死亡、自然恢复和因治疗最初感染个体而恢复(分别为最初感染个体产生的纵向和横向继发感染)。
使用任何预防性或治疗性疫苗都将减少最初感染个体感染健康个体的机会，因此，模型预计在疾病早期状态下病原体的传播率将低于模型;例如，对于某些相对较小的值和，预计事件和在过程中比在过程中更有可能发生，并且至少在第一次观察中，预计过程的(分别)分布的尾部比过程的(分别，)分布的尾部更重。必须做进一步的工作来预测预防性干预(由选择和至少一个严格正值定义)的效果，并与治疗性干预(由严格正值和定义)的效果进行比较，特别是要得出潜在概率的某些阈值，以及使使用预防性疫苗优于使用治疗性疫苗的比率，反之亦然。
在马尔可夫链模型中，人与人之间的接触是由相互独立的共同速率泊松过程控制的，而不管它们是否会导致新的感染。这意味着，由于泊松过程具有独立和平稳的增量(Kulkarni 2020，第5章)，因此假设个体共同构成了一个均匀混合的种群，其大小随时间而变化。另一个有趣的方面是，当控制感染接触、恢复时间和出生和死亡事件的指数制度推广到非指数分布假设时，如何保持模型的马尔可夫公式。例如，一个马尔可夫调制版本的过程可以通过用阶为m的相位型随机变量(He 2014, Chapter 1)代替指数分布的恢复时间(i, s)来定义。这将导致一个增强过程的状态，其矢量-with -记录了相位j的相位型恢复时间的数量，为，在任意时间;请注意，其他马尔可夫调制的版本可以通过替换指数分布时间来获得，直到个体的出生和死亡被相位型随机变量取代，和/或感染接触的泊松过程被马尔可夫到达流取代(He 2014，第2章)。尽管过程可以被认为是一个有限的QBD过程，并且第3节中的方法可以很容易地适应，内存要求如此之高，以至于质量函数的数值解由于底层状态空间的基数性，将迅速变得容易出现数值不稳定性，如Ref. Almaraz和Gómez-Corral(2018)中对更简单的SIR模型所观察到的那样。在分析具有垂直传播和一般感染期分布的SIS流行病模型中的精确复制数时，将以类似于SIR模型框架中继发性病例研究的方式要求分段确定性马尔可夫过程理论(Gómez-Corral和López-García 2017)。
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