复群环与群C\(^*\)-群扩展的代数
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2025-02-05
在早期的工作中，第二作者证明了多项式函子的闭子集总是可以由有限多个多项式方程定义的。在关于\({\text {GL}}_\infty \)-变种的后续工作中，Bik-Draisma-Eggermont-Snowden证明，除其他外，在特征零中，每个这样的闭子集都是态射的像，其定义域是有限维仿射变种和多项式函子的乘积。在本文中，我们证明了这两个结果都可以是算法的:存在一个算法\(\textbf{implicitise}\)，它以多项式函子的态射作为输入，输出有限多个定义图像闭包的方程;还有一个算法(\textbf{parameterise}\)，它将一组有限的方程作为输入，这些方程定义了一个多项式函子的封闭子集，并输出一个态射，它的像就是这个封闭子集。
计算代数几何中的一个重要主题是隐式化:给定一个多项式列表，表示从m维仿射空间到域K上的多项式映射，挑战是计算图像的Zariski闭包的方程。这个挑战至少在理论上可以通过Buchberger算法的消去来解决;参见[7，§3.3]。
但是现在考虑一种情况，其中给出的不是一个多项式映射，而是一系列多项式映射依赖于一个离散参数i，它有无限多个值。如果环境空间和多项式映射随i的变化而变化，有时可能会找到一次捕获所有图像闭包的有限多个方程。
为了使短语“有利地变化”具体化，假设i的范围通过C类的对象，并且是一个有限维仿射空间与i函数变化。这意味着对于每个我们都有一个线性映射，使得和。假设这是另一个仿射空间，函数依赖于，最后，对于任意，我们有一个多项式映射，使得下面的图对每一个都可以交换:
在这种情况下，如果f是图像闭包的多项式方程，那么是-的多项式方程，因为我们假设它是线性的，所以是相同程度的。然后我们问:
是否存在有限多个这样的方程，通过拉回所有相关的线性映射，来定义所有相关的方程?
如果有，是否存在一种算法来计算这有限个j?
上面两个问题的答案是“是”的一个众所周知的例子是，对于某个固定的n和，C是有注入的有限集合的范畴的相反范畴，并且与注入相对应的映射是正则投影。在这种情况下，已知-多项式映射的-同态对偶的核是有限生成的，可以使用Buchberger算法的一个版本来计算，并且这已经应用于代数统计中的问题[4,5,15,16,17]。当前论文中讨论的设置具有非常不同的风格，因为它涉及连续对称而不是离散对称，而且它也明显更加复杂。麻烦的一个原因是，在下面的设置中，我们实际上并不知道相关代数同态的核是否是有限生成的，因此我们必须满足于寻找集合论方程。
在C是有限维k向量空间的范畴，且和都是多项式函子的情况下(定义见2.3节)，第二作者建立了对上述第一个问题的肯定答案[9];见定理2.4.2。
以下是该设置的两个实例:
对于某个正整数k, V的第三次对称幂，和
的像是Waring秩变量的三次齐次多项式的集合，其闭包是边界Waring秩多项式的变化。
，，和
在这种情况下，的图像是封闭的[8]，由q-rank(在文献中也称为slice rank或Schmidt rank)的立方组成。
在第一种情况下，众所周知，对于维数U的消失理想的生成元会拉回到对于所有V的理想的生成元;这在[19]中被称为对称继承。对于较小的k值，我们知道的更多;特别是，对于，理想是由催化剂矩阵的-未成年人产生的[22]。
在第二种情况下，我们不知道在这种意义上理想是否是有限生成的，但是[8]保证了一个数量的存在，使得具有U维的方程在理论上可以拉回为所有V集定义的方程。的显式值是未知的，即使对于。
在许多方面，q秩的例子比Waring秩的例子要困难得多。这样做的主要原因是源是2次多项式函子，而在第一种情况下是1次。然而，定理2.4.2表明，对于一般多项式函子和态射，U的存在性使得人们可以看到足够的集合论方程来定义所有V。
本文的主要结果使得定理2.4.2有效。
(主要定理;在输入多项式函子和态射的情况下，存在一种算法，它可以计算出a，使得对于所有V的方程回到集合论定义方程。
这特别意味着，原则上可以计算出q-rank最多为任意固定k的立方数。
的结构如下。用Buchberger的算法计算方程。根据定理2.4.2，我们知道在某一点上，这些方程，通过回拉，定义了所有v。然而，定理2.4.2并没有给出我们何时可以停止的准则——这与设置中的算法不同:在设置中，如果一个人在有限集和有限集之间没有看到新的方程出现，那么他就保证找到了一个方程的生成集[4]。
为了获得多项式函子集合中的停止判据，我们推导了一种算法，该算法在输入迄今为止发现的多项式方程时，计算由这些方程定义的闭子集的参数化。如果我们能检查一下，我们就做完了。
[2]中的唯一性定理保证了这种参数化的存在。该算法使该定理有效。
最后，为了检验是否存在于闭包中，我们将其传递到无限维，并使用[3]中的结果，该结果表明，当且仅当曲线的极限可以达到适当的一般点时，才会发生这种情况。在本文中，我们证明了这种存在于无限维空间中的曲线可以用有限项表示，并且可以在计算机上搜索。
如果这样的曲线不存在，即不包含在，则这是因为当前空间U太小。在这种情况下，对曲线的搜索不会终止。因此，为了使我们的算法终止，必须将对见证曲线的搜索与对方程的搜索并行进行:在每一步中，U增加一个维度，计算新的方程，并开始新的曲线搜索。我们通过在数个并行处理器上运行算法来模拟这种行为。当然，计算理论中的标准结果意味着该算法也可以在普通图灵机上运行(参见，例如[20])。
这些算法在很大程度上是理论算法，而且——除了最近关于范畴变化的研究——它们依赖于经典的、有限维的、计算代数的许多强有力的结果:Buchberger算法，当然，还有计算理想的根数和计算包含根数理想的最小素数的算法。同时，在算法中加入了相当数量的一般线性群的表示理论。
目前，普遍实施和实施似乎完全遥不可及。然而，我们相信，我们在多项式函子中隐式化的计算方法将在未来作为在具体设置中寻找方程的指南，例如，对于例1.4.1中q-rank的各种立方体。
在第2节中，我们收集了本文其余部分需要的材料:地面领域的一些假设，有限维仿射变量的计算机表示，多项式函子及其闭子集，以及它们之间的态射。
在第3节中，我们推导了算法;见定理3.1.1。在第4节中，我们推导了算法并证明了主要定理;更精确的表述见定理4.1.1。
最后，依赖于一个程序，该程序旨在证明曲线的存在性，如第1.6节所讨论的。这个过程需要无限维代数几何的工具，既有论文[3]中的工具，也有更经典的工具。特别地，正是[13]中的Greenberg近似定理(定理5.5.1)及其在[23]中的有效版本使我们能够用有限项表示这条曲线。
设K是一个特征为零的域，我们可以在计算机上进行计算。更准确地说，我们希望K是一个可计算的域，我们进一步要求存在一种算法来分解K[X]中的多项式。这类领域相当大;它包括及其有限生成的扩展[14，附录B]。
在K上的有限维仿射变换，用K上具有有限多变量的多项式环上的根理想的有限生成元表来表示。我们只考虑K上的变异，特别是不可约这个形容词指的是K上的不可约。K上仿射变异之间的态射可以用一个有限的多项式表来表示。我们的算法将集中使用现有的算法来处理仿射变量。一般的参考文献有[6,7]。特别是，我们将需要计算理想的根的算法;请看，例如[18]。
如果R是一个k代数，h是R的一个元素，那么我们把R[1/h]写成局域化。同样地，如果B是有限维仿射变体，h是K[B]的一个元素，那么对于h定义的基本开子集，即具有坐标环K[B][1/h]的仿射变体，我们写B[1/h]。
设为有限维k向量空间的范畴。对于k -线性映射和的空间，我们分别写出和。
最多d / K次的多项式函子是一个协变函子，使得对于任何映射都是最多d次的多项式。最多d次的多项式函子形成了一个阿贝尔范畴，其中同态是一个自然变换，即由每个线性映射给出，使得对于所有我们有。
当我们说多项式函子时，我们总是指最多为整数次的多项式函子。先验地，多项式函子似乎是由无穷多的数据给出的。但就同构而言，下面由Friedlander-Suslin[11，引理3.4]给出的引理表明它只能由有限的数据量给出。
[11]从最多d次多项式函子到将P赋给具有代数群同态的向量空间的-表示的映射是一个从最多d次多项式函子到最多d次多项式表示的阿贝尔范畴的等价。
在这里，如果代数群的同态扩展到最多d次的多项式映射，则称为最多d次的多项式。对于我们的算法目的，重要的是Friedlander-Suslin引理的证明，特别是映射的证明，是完全建设性的。我们把这张地图画回来。
(Friedlander-Suslin引理中逆映射的构造)通过多项式性，扩展到一个多项式映射，其中，这个扩展是一个单胚同态。对偶地，这给出了一个代数同态，它限制了一个线性映射，从一个线性映射到在标准坐标上的次多项式空间。再次对偶，我们得到一个地图。通过类似的构造，现在应用到乘法上，S变成了一个结合代数，并且是一个代数同态，所以W是一个左S模。(这实际上给出了次的多项式表示和s模之间的范畴等价。)现在让我们随意点。则为右模，通过将上述构造应用于地图，空间成为右s模。最后，定义。这是多项式函子对应于。
Friedlander-Suslin引理与我们相关有两个原因。首先，由于的多项式表示是完全可约的，而不可约的表示是由组合数据完全分类的，因此多项式函子也是如此。其结果是，每个最多d次的多项式函子是舒尔函子的直接和:其中的函子是e的一个分拆，是e个字母上对称群的相应的不可约表示。所以我们可以用有限元组来表示多项式函子。其次，以上证明了Friedlander-Suslin引理是完全建设性的，它可以转化为算法，利用基本线性代数，从多项式函子P对应的度的多项式表示中计算出以下数据:
输入V上P(V)的基;
(矩阵为)输入一个线性映射;和
(一个矩阵)在输入上表示多项式函子Q的度的第二个多项式表示，以及表示的同态。
我们不会在这里明确说明这些算法。
每个至多d次的多项式函子P是齐次多项式函子的直和，其中
特别地，是一个0次多项式函子，它赋予每个V一个固定的向量空间，也表示为每个线性映射的单位。我们称P为纯如果，我们称P的纯部分。
多项式函子P / K的闭子集X是在K上定义的闭子变量X(V)的数据，使得对于每个线性映射将X(U)映射到X(V)。
我们取坐标为in的点因为K可能不够大，看不清所有的点。另一方面，我们的算法总是在K本身上工作，所有的变种都是在K上定义的，实际上，我们通常会从符号中去掉，只写P(V)的闭子变种X(V)在上面的设置中。这与隐式化的经典设置没有什么不同，在隐式化中，人们计算在K上定义的多项式映射的图像中的Zariski闭包方程。
对于多项式函子P和线性映射的闭子集X，我们将写出对X(U)的限制。特别要注意的是，映射为每一个定义了X(V)上的代数作用。因此，本文关注的是(典型的)高度对称的变体，由不同向量空间之间的线性映射所产生的线性映射所关联。
如果X是P的闭子集，那么这个簇就是。对于每一个，0映射将X(V)映射到X(0)，实际上映射到X(0)，因为对于任何我们已知的
其中我们使用了P是函子X是P的闭子集，因此对于每个V, X(V)是的闭子集，其中是P的纯部分，使得X(V)映射到b，我们也可以说X是的闭子集。
下面的定理及其推论表明多项式函子P的闭子集X可以在计算机上表示。
[9]设P是一个多项式函子，并设P的闭子集的下降链，则此链稳定，即存在
对于每一个闭子集，存在一个向量空间，它的性质是
对于每一个，考虑P中的闭子集，定义为
利用P是一个多项式函子而X是一个闭子集，我们可以看到对于所有n，这是一个递减链。根据定理2.4.2，这条链稳定于，例如，，因此稳定于，。利用X是闭子集，我们得到相同的。因此，，这个推论成立。
因此，如果我们定义X(U)的方程，那么沿着所有线性映射的回拉将切断X(V)。然后我们写。由P, U和组成的元组共同构成了X的计算机表示。稍微更一般地说，我们通常会这样表示X。
设B是一个有限维仿射变量，P是一个纯多项式函子，U是一个有限维向量空间，并且。元组称为定义的闭子集X的隐式表示
由推论2.4.3可知，每一个闭子集都有一个隐式表示。在这里，我们允许K[B]的一些非零元素，使得X不映射到B，而是映射到B的一个闭子变种。
设B是一个有限维仿射变量，Q是一个纯多项式函子，X是一个闭子集。那么，X被称为不可约的当且无论何时存在闭子集(一如既往，定义在K上)，我们有或。
一个简单的检验表明X是不可约的当且仅当X(V)对每一个(即不是定义在K上的两个闭真子集的并集)都是不可约的;特别地，是不可约的当且仅当B不可约。注意，由于K可能不是代数闭的，我们意义上的不可约性并不意味着上的不可约性。
对于任意多项式函子，且任意，坐标环是一个阶次多项式环，其中的坐标给定阶次e。多项式f对于这个阶次是n次齐次的当且仅当对所有。如果X是P的闭子集，那么X(V)在所有t下都是守恒的，因此X(V)的理想是齐次的。
类似地，对于有限维仿射变量B和纯多项式函子P，具有标准分级，其中K[B]的元素为0度，且任意闭子集X的理想是齐次的。
我们发现，坐标环K[X(V)]，对于X是至多d次的多项式函子P的封闭子集(或者对于X是至多d次的纯多项式函子P的封闭子集)，具有标准的等级，并且最多d次生成。一个简单的计算表明，对于每个，回拉都是一个渐变的K代数同态。
设X, Y是多项式函子的闭子集。然后，一个仿射是由仿射变体在K上的一个仿射给出的，对于我们所有的。
通过取单位的标量倍，我们发现回拉是一个分级k代数同态。
引理2.7.3确保我们可以在计算机上表示态射。首先，下面概括了有限维仿射变量的一个众所周知的性质(见[1，命题1.3.22])。
如果X是多项式函子P的闭子集，Y是多项式函子Q的闭子集，则任何态射都扩展为一个态射。
设X, Y是次数最多为d的多项式函子的闭子集。那么，一个态射是由唯一确定的，并且这个唯一确定是算法的，在这个意义上，如果已知，则可以计算任何。
通过引理2.7.2，推广到一个态射，其中X,Y是次多项式函子P, q中的闭子集。现在对于每一个，当V变化时，限制定义了从多项式函子到多项式函子的同态，都是e次的(除非它不是有限维的，但我们可以用它的像代替它)。然后，我们应用Friedlander-Suslin引理得出这个同态是唯一地由它的求值决定的。算法性是由Friedlander-Suslin引理的算法性推导出来的。
引理的一个特殊例子是，当和，对于P, Q次纯多项式函子。在这种情况下，态射空间是K上的有限维向量空间，即-等变线性映射空间的直和，其中。在论文的最后，这个空间对我们来说很重要。
我们经常会考虑态射，其中A, B是K的有限维变种，P, Q是纯多项式函子。这样的态射分解为态射和态射;这里我们使用保留度，并且B上的坐标具有零度(见2.6节)，因此它们的像不能涉及p上的正次坐标。如果A不可约，则可以认为是有限维仿射空间的K(A)值点;这将在后面成为一个有用的观点。
任意固定定义了一个1次的协变多项式函子，通过和，对于，。如果P是一个d次的多项式函子，那么它也是一个d次的多项式函子，叫做P在U上的移位。
和P的顶次部分是标准同构的[9，引理14]。如果X是P的闭子集，则是。请注意，这样的移位会使有限维基变大。更准确地说，如果X是一个闭子集，P是一个纯多项式函子，那么是一个闭子集，其中是的纯部分。
多项式函子Q是P的子函子，对于所有V和所有。在这种情况下，商P/Q定义为。
我们称多项式函子Q小于多项式函子P，如果它们不同构，对于最大的e不同构，前者是后者的商。
利用Friedlander-Suslin引理，可以证明这是多项式函子上的一个成立良好的阶[9，引理12]。
现在，我们已经指出了我们将在下面需要的所有数学对象的计算机表示:有限维仿射变量，多项式函子，后者的闭子集以及它们之间的态射。此外，我们在算法的设计和分析中引入了两个工具:多项式函子上的移位和建立良好的顺序。
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